Question

如图，BE是角ABD的平分线，CF是角ACD的平分线，BF、CF相交于点G，角BDC=140度，角BGC=110度，求角A的度数

Answer 1

80°。

解：先连接BC

∵三角形内角和为180度

∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=40°

∴∠GBC+∠GCB=∠BGC-（∠DBC+∠DCB）=30°

∵CF是角ACD的平分线，BE、CF相交于点G

∴∠ABD+∠ACD=30°×2=60°

（∠ABD+∠ACD）+（∠DBC+∠DCB）=60°+4°=100°..

∴∠A=180°-（∠ABD+∠ACD）+（∠DBC+∠DCB）=80°

在三角形中的定义。

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。

由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。 由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。

Answer 2

A为80度

BDC-BGC=30
30*2=60
A+60+GBD+BCD=180
BDC+GBD+BCD=180
GBD+BCD=40
180-40-60=80
解：先连接BC
∵三角形内角和为180度
∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=40°
∴∠GBC+∠GCB=∠BGC-（∠DBC+∠DCB）=30°
∵CF是角ACD的平分线，BE、CF相交于点G
∴∠ABD+∠ACD=30°×2=60°
（∠ABD+∠ACD）+（∠DBC+∠DCB）=60°+4°=100°
∴∠A=180°-（∠ABD+∠ACD）+（∠DBC+∠DCB）=80°

Answer 3

解：先连接BC
∵三角形内角和为180度
∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=40°
∴∠GBC+∠GCB=∠BGC-（∠DBC+∠DCB）=30°
∵CF是角ACD的平分线，BE、CF相交于点G
∴∠ABD+∠ACD=30°×2=60°
（∠ABD+∠ACD）+（∠DBC+∠DCB）=60°+4°=100°
∴∠A=180°-（∠ABD+∠ACD）+（∠DBC+∠DCB）=80°

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∠A=80°
用虚线连接A、G、D，
∵∠BDC=∠BGC+1/2∠ABD+1/2∠ACD
即110°+1/2∠ABD+1/2∠ACD
∵∠BDC=140°
∴1/2∠ABD+1/2∠ACD=30°
∴∠ABD+∠ACD=60°
∵∠A=∠BDC-（∠ABD+∠ACD）
即∠A=140°-60°=80°

Answer 4

我的一个方法可以不做辅助线。
解：∵∠BDC=140°（已知），
∴优角BDC＝360°－∠BDC＝360°－140°=220°（周角的定义）
注：大于平角（180°)小于周角(360°)的角，叫做优角。
∵优角BDC=220°，∠BGC=110°（已知），
∴∠DBG＋∠DCG＝360°－（优角BDC＋∠BGC)=360°－（220°＋110°）=30°（四边形的
内角和为360°）
∵BE、CF分别是∠ABD、∠ACD的平分线（已知），
∴∠FBG＋∠ECG＝∠DBG＋∠DCG=30°（角平分线的定义）
∵两个三角形的内角和是360°，
∴∠BFG＋∠BGF＋∠CGE＋∠CEG＝360°－（∠FBG＋∠ECG）＝360°－30°＝330°（三
角形的内角和为180°）
∵四个平角的度数是720°，
∴∠AFG＋∠AEG＋∠FGE＝720°－∠BGC－（∠BFG＋∠BGF＋∠CGE＋∠CEG)=720°
－110°－330°=280°（等式的性质）
∵四边形的内角和为360°，
∴∠A=360°－（∠AFG＋∠AEG＋∠FGE）＝360°－280°＝80°（等式的性质）
这是我原创的，不用辅助线，内容比较复杂，需耐心琢磨

Answer 5

延长BD交AC与点H 连接BC
BDC=DHC+HCB
∵DHC=角A+ABH
所以BDC=角A+ABH+ACD
所以BGC=角A+1/2ABH+1/2ACD
BDC-BGC=1/2ABH+1/2ACD
ABH+ACD=60°
角A=140-60=80°