Question

十几道高一有关三角函数的数学题。求详解、详解。谢谢！急求，谢谢！

1、已知A、B是锐角，且sinA=√5／5,sinB=√10／10。求A+B的值
2、若sinA+cosA=tanA(0＜A＜π／2），这A所在区间（ ）
A（0，π/6） B（π/6，π/4） C（π/4，π/3） D（π/3，π/2）
3、已知sin²C／sin²A+tan（A-B）／tanA=1 求证tanAtanB=tan²C
4、化简sin²（A+π／6）+sin²（A-π／6）-sin²A
5、求值①cos20ºcos40ºcos60ºcos80º ②sin66ºsin42ºsin6ºsin78º
③tan67.5º-tan22.5º ④cosπ/12·cos5π/12
6、化简（1+sinA-cosA)／(1+sinA+cosA)＋(1+sinA+cosA)／(1+sinA-cosB)
7、已知sin(π/4+A)sin(π/4-A)=1/6 ，且（π/2＜A＜π） 求sin4A
8、已知tanA=1/7 ,tanB=1/3 且A、B都为锐角，求A+2B
9、求值 sin²20º+sin²80º+√3sin20ºcos80º
10、求值[2sin50º+sin10º（1+√3tan10º）]·√（2sin²80º）
11、若sin(π/6-A）=1/3 则cos（2π/3＋2A）=?
12、已知tan(π/4+A)=3求sin2A-2cos²A的值
13、在△ABC中，已知B=π/3则tanA/2+tanC/2+√3tanA/2tanC/2=?
14、化简√（1+cos10º）
15、已知cos（A-π/6)+sinA=4√3／5,求sin（A+7π/6)的值
16、3sinB=sin(2A-B)，求证tan(A+B)=2tanA

Answer 1

1.∵A、B是锐角
∴cosA=√[1-(sinA)^2]=2√5/5 ，cosB=√[1-(sinB)^2]=3√10/10
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=√2/2
A+B=45º
2.sinA+cosA=√2sin(A + π/4)=tanA
∵0＜A＜π/2
∴π/4＜A+π/4＜3π/4
则√2/2＜sin(A+π/4)＜1
∴1＜tanA＜√2
π/4＜tanA＜arctan√2 ,约为（π/4，π/3） ，选C
3.tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA*tanB)
1 - [(tanA-tanB)/(1+tanA*tanB)]/tanA = (sinC)^2/(sinA)^2
[(tanA)^2*tanB+tanB] / [tanA(1+tanA*tanB)] = (sinC)^2/(sinA)^2
tanB*(secA)^2 / tanA(1+tanA*tanB) = (sinC)^2/(sinA)^2 ，(其中1 + tan^2A=sec^2A)
tanB*(secA)^2*(sinA)^2 = tanA(1+tanA*tanB)*(sinC)^2
tanB*tanA = (1+tanA*tanB)*(sinC)^2 ，（两边除以tanA）
(tanB*tanA+1) - 1 = (1+tanA*tanB)*(sinC)^2
1 - 1/(1+tanA*tanB) = (sinC)^2
1 - (sinC)^2 = 1/(1+tanA*tanB)
(cosC)^2 = 1/(1+tanA*tanB)
1/(secC)^2 = 1/(1+tanA*tanB)
(secC)^2 = 1+ tanA*tanB
(secC)^2-1=tanA*tanB
(tanC)^2=tanA*tanB
4.原式=[sinAcos(π/6)+cosAsin(π/6)]^2+[sinAcos(π/6)-cosAsin(π/6)]^2-(sinA)^2
=[(√3/2)sinA + (1/2)cosA]^2 + [(√3/2)sinA - (1/2)cosA]^2 - (sinA)^2
=3(sinA)^2/2 + (cosA)^2/2 - (sinA)^2=1/2*[(sinA)^2 + (cosA)^2]
=1/2
5.①原式=2sin20°cos20°cos40°cos80°/ 4sin20°
=sin40°cos40°cos80°/ 4sin20°
=sin80°cos80°/ 8sin20°
=sin160°/ 16sin20°
=sin(180°-20°)/16sin20°
=1/16
②原式=sin(90°-24°)sin(90°-48°)sin6°sin(90°-12°)
=cos24°cos48°sin6°cos12°
=2sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°/2cos6°
=sin12°cos12°cos24°cos48°/2cos6°
=sin24°cos24°cos48°/4cos6°
=sin48°cos48°/8cos6°
=sin96°/16cos6°
=1/16
③原式=sin67.5°/cos67.5° - sin22.5°/cos22.5°
=cos22.5°/sin22.5° - sin22.5°/cos22.5°
=[(cos22.5°)^2 - (sin22.5°)^2] /(sin22.5°*cos22.5°)
=cos45°/ [(1/2)*sin45°]
=2
④原式=1/2 * [cos(5π/12 + π/12) + cos(5π/12 - π/12)]
=1/2 * [cos(π/2)+cos(π/3)]
=1/2 * [0 + 1/2]
=1/2 * 1/2
=1/4
6.原式=[(1+sinA-cosA)^2+(1+sinA+cosA)^2] / (1+sinA+cosA)(1+sinA-cosA)
展开，整理后=4(1+sinA) / 2sinA(sinA+1)
=2/sinA
7.sin(π/4+A)sin(π/4-A)=(-1/2){cos[(π/4+A)+(π/4-A)] - cos[(π/4+A)-(π/4-A)]}
=(-1/2)[cos(π/2) - cos2A] =(1/2)cos2A=1/6
cos2A=1/3
∵π/2＜A＜π
∴π＜2A＜2π
sin2A=-√[1-(cos2A)^2]=-2√2/3
sin4A=2sin2A*cos2A=-4√2/9
8.tan2B=2tanB / 1 - (tanB)^2 =3/4
tan(A+2B)=(tanA + tan2B) / (1 - tanAtan2B) =1
∵A、B都为锐角
∴A+2B∈(0，270°)
A+2B=45°或A+2B=225°
9.原式=(1 - cos40°)/2 + (1 + cos160°)/2 + √3/2*(sin100°-sin60°)
=1 + (cos160°- cos40°)/2 + √3/2*sin100°- 3/4
=1 - sin[(160°+ 40°)/2]*sin[(160°- 40°)/2] + √3/2*sin100°- 3/4
=1 - sin100°sin60° + √3/2*sin100°- 3/4
=1/4
10.原式=[2sin50° + sin10°(cos10°+√3sin10°)/cos10°]×√2sin80°
= [2sin50°cos10° + 2sin10°(cos60°cos10°+sin60°sin10°)×√2sin80°/cos10°
=2[sin50°cos10° + sin10°cos(60°-10°)]×√2
= 2sin(50°+10°)×√2
= √6
11.原式=cos[2(π/3+A)]
=2[cos(π/3+A)]^2 - 1
=2{sin[π/2-(π/3+A)]}^2 - 1
=2[sin(π/6-A)]^2 - 1
=-7/9
12.tan(π/4+A) = [tan(π/4)+tanA] / [1-tan(π/4)tanA] =3
解得：tanA=1/2
sin2A - 2(cosA)^2=sin2A - (1+cos2A) =sin2A - cos2A - 1
=(2tanA)/[1+(tanA)^2] - [1-(tanA)^2]/[1+(tanA)^2] - 1
=-4/5
13.∵在△ABC中，B=π/3
∴A+C=2π/3 则(A+C)/2 =π/3
∵tan(A/2 + C/2) =[tan(A/2) + tan(C/2)] / [1 - tan(A/2)tan(C/2)] =tan(π/3)=√3
∴tan(A/2) + tan(C/2) = √3*[1 - tan(A/2)tan(C/2)]
√3*[1 - tan(A/2)tan(C/2)] = √3 - √3*tan(A/2)tan(C/2)
即：tan(A/2) + tan(C/2) + √3*tan(A/2)tan(C/2) = √3
14.原式=√[2(cos5°)^2]=(√2)cos5°
15.cos(A-π/6) + sinA = cosAcos(π/6) + sinAsin(π/6) + sinA
=cosAcos(π/6) + (1/2)sinA + sinA
=(√3/2)cosA + (3/2)sinA =4√3／5
则(1/2)cosA + (√3/2)sinA = 4/5
即：sin(A + π/6)=4/5
sin(A + 7π/6)=sin[π+(A + π/6)]=-sin(A + π/6)=-4/5
16.题目是不是应该“已知3sinB=sin(2A+B) ，求证：tan(A+B)=2tanA”这样呀？如果是的话，证明如下：
3sinB=sin(2A+B)
3sin[(A+B)-A] = sin[(A+B)+A]
3[sin(A+B)cosA - cos(A+B)sinA] = sin(A+B)cosA + cos(A+B)sinA
3sin(A+B)cosA - 3cos(A+B)sinA = sin(A+B)cosA + cos(A+B)sinA
2sin(A+B)cosA = 4cos(A+B)sinA
tan(A+B)=2tanA

Answer 2

1 采用和差化积公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =√5／5(2√10／10)+2√5／5(√10／10)=√2／2
由sin(A+B)=√2／2(特殊值),且A、B是锐角 知A+B=π/4或3π/4
又sinA=√5／5<√2／2,sinB=√10／10)<√2／2,所以A<π/4,B<π/4
综上，A+B=π/4
2 sinA+cosA=√2sin（A+π/4）=tanA
A属于 （0，π/2）
则从（0，π/4）.函数单增，最小A趋向0时。sinA+cosA=1。而此时为0
sinA+cosA>tanA

当A增加时，sinA+cosA，tanA均是增函数，
当A=π/4.则sinA+cosA=√2。而tanA=1,
则sinA+cosA>tanA
当A继续增加时，sinA+cosA递减，tanA是增函数。
当A=π/3.sinA+cosA=(1+√3）/2.而tanA=√3
sinA+cosA<tanA
所以可知A 在（π/4,π/3）
3 tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA*tanB)

tan(A-B)/tanA+sin²C/sin²A=1 左右移项

得 1-[(tanA-tanB)/(1+tanA*tanB)]/tanA=sin²C/sin²A 左边化简一下
得 (tan²A*tanB+tanB)/tanA(1+tanA*tanB)=sin²C/sin²A 左边再化简一下
得 tanB*(sec²A)/tanA(1+tanA*tanB)=sin²C/sin²A 现在可以交叉相乘了
得 tanB*tan²A=tanA(1+tanA*tanB)*sin²C 两边除以tanA
得 tanB*tanA=(1+tanA*tanB)*sin²C 左边做一个+1 -1动作
得 tanB*tanA+1-1=(1+tanA*tanB)*sin²C 然后把右边的(1+tanA*tanB)除过去
得 1-1/(1+tanA*tanB) = sin²C 移项
得 1-sin²C=1/(1+tanA*tanB) 由于1-sin²C=cos²C cos²C=1/sec²C
得 1/sec²C=1/(1+tanA*tanB) 倒过来
得 sec²C=1+tanA*tanB 把1移过去！
得 sec²C-1=tanA*tanB 因为sec²C-1=tan²C
得 tan²C=tanA*tanB
4
……

13 已知B=π/3
tanB=tan（A/2+C/2）=（tanA/2+tanC/2）/（1-tanA/2*tanC/2）=√3
所以tanA/2+tanC/2+√3tanA/2tanC/2=√3
14 两倍角公式cos2A=cos^2 A-sin^2 A=1-2sin^2 A=2cos^2 A-1
√（1+cos10º）=√（1+（2cos^2(5º)-1））=√2cos5º
15、已知cos（A-π/6)+sinA=4√3／5,求sin（A+7π/6)的值
和差化积公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
左边cos（A-π/6)+sinA=cosA（√3/2）+sinA（1/2）=4√3／5,
右边sin（A+7π/6)=sinA（-√3/2）+cosA(-1/2)=
……

16、3sinB=sin(2A-B)，求证tan(A+B)=2tanA
(题目可能出错了)
两倍角公式sin2A=2sinA·cosA , cos2A=cos^2 A-sin^2 A=1-2sin^2 A=2cos^2 A-1
和差化积sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
3sinB=sin(2A-B)=sin2A·cosB-cos2A·sinB=2sinA·cosA·cosB -(2cos^2A-1 )sinB=
2sinA·cosA·cosB -2cos^2A·sinB+sinB=sinB+2cosA·(sinA·cosB-cosA·sinB）=sinB+2cosA·(sinA·cosB-cosA·sinB）=sinB+2cosA·sin（A-B） 则sinB=cosA·sin（A-B）
同理2sinB=sinA·cos（A-B）则2cosA·sin（A-B）=sinA·cos（A-B）
移项 得tan(A-B)=tanA/2
不好意思 时间仓卒 就做这几道吧
主要还是要记住公式，参考公式见 http://baike.baidu.com/view/959840.htm

Answer 3

1,sin(A+b)=√2／2,A+B=45du
2,c
3,略
4，（√3-2）sin²A+1
5，1）原式*sin20º除sin20º=1/16
②sin66ºsin42ºsin6ºsin78º

Answer 4

题目这么多，打字很工整，很是佩服。不过有打字的时间都差不多可以做出来了。
这么多道题，给80分，太划不来了。