Question

高数题，紧急！！

设f(x)在[a,b]上有二阶导数，又f'(a)=f'(b)=0.试证明：至少存在一点m属于（a,b),使得 |f''(m)|>4[f(b)-f(a)]/(b-a)^2.情况紧急，请高人指点！！谢谢！！

Answer 1

利用泰勒展开，在（a+b）/ 2这一点分别用a, b两点展开，相减就得到。

这道题在《数学分析教程》上册，高等教育出版社，作者：常庚哲 史济怀。211页问题4.3第二题。

才给20分，哎。

Answer 2

由泰勒展开公式：
f(x)=f(a)+f''(ξ1)(x-a)²/2,
f(x)=f(b)+f''(ξ2)(x-b)²/2,ξ1,ξ2均在(a,b)内.
所以
f[(a+b)/2]-f(a)=f''(ξ1)(b-a)²/8
f[(a+b)/2]-f(b)=f''(ξ2)(b-a)²/8,两式相减取绝对值得
|f(b)-f(a)|=|f''(ξ1)-f''(ξ2)|(b-a)²/8
|f''(ξ1)-f''(ξ2)|=8|f(b)-f(a)|/(b-a)²
若记|f''(ξ1)|,|f''(ξ2)|中较大者为|f''(m)|,
则|f''(ξ1)-f''(ξ2)|≤|f''(ξ1)|+|f''(ξ2)|≤2|f''(m)|
从而|f''(m)|≥4|f(b)-f(a)|/(b-a)².

Answer 3

证明：
将f(x)分别在x=a,x=b处展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f"(m1)(x-a)^2,(a<m1<x)
f(x)=f(b)+f'(b)(x-b)+(1/2!)f"(m2)(x-b)^2,(b<m2<x)
在公式中取x=(a+b)/2,并利用题设得
f[(a+b)/2]=f(a)+(1/2)f"(m1)[(b-a)/2]^2
f[(a+b)/2]=f(b)+(1/2)f"(m2)[(b-a)/2]^2
两式相减消去f[(a+b)/2]得
f"(m1)-f"(m2)=8[f(b)-f(a)]/(b-a)^2,则有
|f"(m1)|+|f"(m2)|>=8[f(b)-f(a)]/(b-a)^2
从而在m1,m2中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于4[f(b)-f(a)]/(b-a)^2，把该点取为m，则有m∈(a,b),使得|f''(m)|>=4[f(b)-f(a)]/(b-a)^2