Question

数学证明问题

设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x)不等于0，且f(x+y)=f(x).f(y)成立，求证：对定义域内任意实数x都有f(x)>0.

Answer 1

对于任意x,f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2).f(x/2）=f(x/2)^2,由于f(x/2)不等于0，所以f(x)=f(x/2)^2>0.

追问

x/2是哪来的？

追答

x/2就是x的二分之一，x=2*(x/2)=x/2+x/2,x是实数，x/2也是实数，既然对于任意实数，f>0,所以f(x/2)>0,

Answer 2

令y=x,则f(x+y)=f(2x)=f(x).f(y)=f(x).f(x)=f(x)^2
由于f(x)不等于0，则必有
f(x+y)=f(2x)=f(x).f(y)=f(x).f(x)=f(x)^2>0
由于x具有任意性,则对定义域内任意实数x都有f(x)>0.