Question

数学证明问题，求大神解

（ab+a+b+1）(ab+ac+bc+c平方)>=16abc，已知abc都为正整数，要过程，帮帮忙
是要证明那个>=16abc成立

Answer 1

（ab＋a＋b＋1）（ab＋ac＋bc＋c^2）＝（a＋1）（b＋1）（a＋c）（b＋c）。
（a＋1）×（b＋1）×（a＋c）×（b＋c）≥2√a×2√b×2√ac×2√bc＝16abc，
（ab＋a＋b＋1）（ab＋ac＋bc＋c^2）≥16abc。

Answer 2

ab+a+b+1=(a+1)(b+1)
ab+ac+bc+c^2=a(b+c)+c(b+c)=(a+c)(b+c)
(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)>=16根号（a*b*ac*bc)=16abc
括号里的用基本不等式 再相乘

Answer 3

有必要分解因式么？就是均值不等式呀！（ab+a+b+1）>=4倍ab*a*b*1的四次根；(ab+ac+bc+c平方)>=4倍ab*ac*bc*c方的四次根；两个不等式的右边abc都出现四次，相乘为abc，在a=b=c=1取等号，得证

Answer 4

由公式 (a1+a2+...an)/n>=开n次根（a1a2...an)即得结果, 即算术平均大于几何平均。
ab+a+b+1>=4x开4次根(aabb)
ab+ac+bc+c^2>=4x开4次根(aabbcccc)
相乘，即得结果。