Question

已知x、y∈R+,x^3+y^3=2,求x+y的最大值

Answer 1

解：先进行因式分解，得：
x³+y³
=(x+y)(x²-xy+y²)
=(x+y)[(x+y)²-3xy]=2···········①
由于(x-y)²≥0，展开即得：
2xy≤x²+y²
4xy≤x²+2xy+y²
4xy≤(x+y)²
xy≤(x+y)²/4
上式两边同时乘以-3，得
-3xy≥-3(x+y)²/4
将上式代入①式可得：
2=(x+y)[(x+y)²-3xy]
≥(x+y)[(x+y)²-3(x+y)²/4]
=(x+y)[(x+y)²/4]
=(x+y)³/4
即：(x+y)³≤8，
因此，x+y≤2，故x+y的最大值为2。