Question

在圆心O中,有两条非直径的弦AB,CD且AB⊥CD,垂足为K,圆心O的半径为5

AB=6根2.CD=8,求OK，KD

Answer 1

解：过O点作互相垂直的直径A1A2，B1B2

    则 A1A2垂直平分AB，B1B2垂直平分CD(垂直弦的直径平分该弦)

    ∴EB=1/2AB=1/2*6√2=3√2

    又OB为圆O的半径

    ∴OB=5

    在直角三角形BOE中，由勾股定理，得

    OE^2=OB^2-EB^2=5^2-(3√2)^2=25-18=7

    ∴OE=√7

    DF=1/2CD=1/2*8=4

    又OD为圆O的半径

    ∴OD=5

    在直角三角形DOF中，由勾股定理，得

    OF^2=OD^2-FD^2=5^2-4^2=25-16=9

    ∴OF=3

    在直角三角形KOF中,FK=OE=√7,OF=3,由勾股定理，得

    OK^2=OF^2+FK^2=3^2+(√7)^2=9+7=16

    ∴OK=4                                                  ①                       

    在圆O中，由相交弦定理，得

    AK*KB=CK*KD

    又 AK=AB-KE-EB=AB-OF-EB=6√2-3-3√2=3√2-3

       KB=KE+EB=OF+EB=3+3√2

       CK=CD-KD=8-KD

    ∴(3√2-3)(3+3√2)= (8-KD)*KD

      9=(8-KD)*KD

    即 KD^2-8*KD+9=0

    从而  KD=（8±√（8^2-4*1*9））/2=4±√7               ②

    由①②得 OK=5,KD=4+√7或 KD=4-√7