Question

证明如果整系数二次方程ax的平方+bx+c=0(a不等于0)有有理根,那么a，b，c中至少有一个是偶数。

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Answer 1

假设a,b,c都是奇数，设a=2k+1,b=2m+1,c=2n+1,k,m,n都是整数。
则b^2-4ac=（2m16kn+1)^2-4(2k+1)(2n+1)=4m^2+4m+1-16kn-8k-8n-4=4m^2+4m-16kn-8k-8n-3=4m(m+1)-8(2kn+k+n)-3
被8除余5，而奇数的平方被8除余1.所以b^2-4ac不是完全平方数，所以原方程没有有理数根，所以原命题得证。

追问

能再简单一点吗？看不懂！我才初二，这样太乱了！如果有，那太谢谢了。

Answer 2

假设a,b,c都是奇数。
设a=2k+1,b=2m+1,c=2n+1,k,m,n都是整数。
则b^2-4ac=（2m16kn+1)^2-4(2k+1)(2n+1)=4m^2+4m+1-16kn-8k-8n-4=4m^2+4m-16kn-8k-8n-3=4m(m+1)-8(2kn+k+n)-3
被8除余5，而奇数的平方被8除余1.
所以b^2-4ac不是完全平方数，所以原方程没有有理数根，所以abc不能都是奇数，至少有1个偶数。

Answer 3

假设a、b、c全为奇数△=b2-4ac＞=0有：
x= -b±√b²-4ac/2a，
可见存在有理根，即设 √b²4ac为有理数n，
∴b²-4ac=n²,
（b-n）（b+n）=4ac，
∵若n为偶数，（b-n）（b+n）=奇数×奇数=奇数≠4ac，
∴n只能为奇数，b-n为偶数b+n为偶数，
（b-n）（b+n）=偶数×偶数=2a×2c （a＜=c），
b-n=2a，b+n=2c，
解得：b=a+c，
此时b=奇数+奇数=偶数 与原假设矛盾，
原假设不成立．
∴如果整系数二次方程ax2+bx+c=0存在有理根，那么a、b、c至少有一个是偶数得证明．