Question

如图，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD。他的上底AD=3cm，下底BC=8cm。垂直于底的腰CD=6cm，现要截出一块

形铁皮MPCN,使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD上
（1）设MN为x，矩形MPCN的面积为S，求S关于x的函数解析式和x的取值范围
（2）当MN的长是多少时，矩形MPCN的面积有最大值？这个值是多少？

Answer 1

解：(1)

过A作AE⊥BC于E点
那么ADCE是矩形
∴EB=BC-EC=BC-AD=8-3=5
在三角形AEB与三角形MPB中
∵AE⊥BC，MP⊥BC
∴AE//MP
从而 AE/EB=MP/PB
又 AE=CD=6，EB=5，PB=BC-PC=BC-MN=8-X
∴6/5=MP/(8-X)
即 MP=6(8-X)/5
∴S=MN*MP=X*6(8-X)/5=(48X-6X^2)/5
又AD<MN<BC
则 3<X<8
∴ S关于x的函数解析式是: S=(48X-6X^2)/5
x的取值范围是(3,8)

(2)
(48X-6X^2)/5=[-6(X^2-8X)]/5
=[-6(X^2-8X+16-16)]/5
=[-6((X-4)^2-16)]/5
当X-4=0时，S有最大值
此时 S=[-6((X-4)^2-16)]/5
=[-6((4-4)^2-16)]/5
=[-6((0)^2-16)]/5
=[-6*(-16)]/5
=96/5=19.2
∴当MN的长是4cm时，矩形MPCN的面积有最大值,这个值是19.2(cm)^2.

Answer 2

解：(1)

过A作AE⊥BC于E点
那么ADCE是矩形
∴EB=BC-EC=BC-AD=8-3=5
在三角形AEB与三角形MPB中
∵AE⊥BC，MP⊥BC
∴AE//MP
从而 AE/EB=MP/PB
又 AE=CD=6，EB=5，PB=BC-PC=BC-MN=8-X
∴6/5=MP/(8-X)
即 MP=6(8-X)/5
∴ S关于x的函数解析式是: S=(48X-6X^2)/5 3<X<8

(2)
(48X-6X^2)/5=[-6(X^2-8X)]/5
=[-6(X^2-8X+16-16)]/5
=[-6((X-4)^2-16)]/5
当X-4=0时，S有最大值
此时 S=[-6((X-4)^2-16)]/5
=[-6((4-4)^2-16)]/5
=[-6((0)^2-16)]/5
=[-6*(-16)]/5
=96/5=19.2
∴当MN的长是4cm时，矩形MPCN的面积有最大值,这个值是19.2(cm)^2.

Answer 3

过A点作BC的垂线交BC于E，显然△MPB∽△AEB
有MP/AP=BP/BE，即MP=AP*BP/BE=6*(8-x)/(8-3)=6(8-x)/5
S=MN*MP=6(8-x)x/5=－6/5*(x-4)²+6*16/5
当MN=x=4时，S有最大值19.2cm²