Question

一道高中概率题

湖北05文科高考数学 某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同 假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）

我想了挺久，关于第二问的正确答案个人认为应该是 p1-p2+(1-p1)^2 而卷子答案却是p1(1-p2)+(1-p1)^2
我想问：高考题怎么会出现这样的错误，出现了怎么办！？

Answer 1

你的想法是对的 寿命在1年以上不足2年概率应该是P1-P2 . 前面那个人的回答是不懂装懂，迷信答案。当年的高考题答案是错的。但是命题组阅卷前已经发现答案有问题。组织阅卷的时候实际是按照 P1-P2来处理的。没有想到很多资料盲目抄答案，使得正确答案反而石沉大海。无意中看到你的问题，算是澄清一下。

Answer 2

人家的答案没有错，是你自己想错了。遇到这种自己觉得答案错误的情况，要怀疑自己，而不是怀疑答案。
思路如下：
第二次更换灯泡的工作中，需要更换的灯泡分两种情况：1。最开始安装上去的寿命为2年的。此种情况的概率应为p1（1-p2），首先灯泡必须满足寿命在1年以上，才能保证p2的发生。故，应先满足一年以上，再满足（1-p2）即灯泡能工作两年。两者必为相乘的关系，因为他们是条件关系。1-p1）^2。这个你懂，就不讲了。

追问

= = 额，这个...
p2的发生一定保证p1的发生。所以p1 p2不是独立的，所以p1和p2的对立（1-p2)不是相互独立。如何相乘？
您的第一种情况P（一年以上且两年以下）≠P（1年以上）×P（两年以下）即p1（1-p2)

追答

…… 无语，你还没想通呢
首先，p1和p2独立与否，与解题根本无关，因为这道题里他们是条件概率；p1与1-p2为什么不可以是独立事件？
其次，我再解释解释。在第一年过后，那些剩下的灯泡只有两种情况：（1）一种是被更换掉了，概率为1-p1；(2)一种是寿命在一年以上的，概率为p1。这是先决条件。是属于“条件概率”。对于（1），在第二年，这些灯泡里要被换掉的灯泡应该是新换上去的，但是寿命仍然是一年的灯泡，即（1-p1）x（1-p1）；对于（2），在第二年，这些灯泡里，被换掉的应该是那些第一年没被换掉，但寿命是两年的灯泡，即p1x（1-p2）。
你好好想想。
还有，无论啥时候都不要怀疑答案，先怀疑自己，除非印刷错误，不然答案不会错。你看我们课本上那些高等数学题，刚开始学的不精，看的不深入，所以老是觉得答案怎么能这样，但是后来再仔细研究研究，就发现其实是当时自己的思路拐错了。