Question

如图所示,已知曲线C1:y=x^2 与曲线C2:y=-x^2+2ax（a>1)交于点O,A,直线x=t（0<t<=1)与曲线C1，C2分别交于点

D,B，连接OD,DA,AB.
(1)写出曲边四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t)
(2)求函数S=f(t)在区间（0.1】上的最大值

Answer 1

(1)   y=x^2 与y=-x^2+2ax联立解得；A(a,a^2)  再与x=t联立，解得：B(t,t^2),  D(t,-t^2+2at)
                     |  1    0    0          |              |  1     t     t^2           |
       S=1/2*  |  1    t     t^2        |  +1/2*  |  1     t     -t^2+2at  |=-2t^3+3at^2-a^2t
                     |  1    t    -t^2+2at|             |  1     a    a^2         |
(2)  S'=-6t^2+6at-a^2  令 S'=0   解得；t=(3±√3)a/6    1<a<=3-√3
      S''=-12t+6a      S''[(3-√3)a/6]>0   S''[(3+√3)a/6]<0  
∴当t=(3+√3)a/6时，函数S=f(t)在区间（0,1]上取得最大值。最大值是：f[(3+√3)a/6]  ( 1<a<=3-√3)。