Question

已知曲线C1：y=x^2 与曲线C2：y=-x^2+2ax(a>1)交于点O,A，直线x=t(o<t<=1)C1,C2分别交于D,B，连OD,DA,AB

写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式

Answer 1

解：∵xb=t => yb=-t^2+2at ∴B(t,-t^2+2at) 同理 D（t,t^2) ; A(a,a^2)
∴S曲ABOD=S曲ODB+⊿ADB
=∫(0∽xb)[(-x^2+2ax)-(yd/xd)]+(yb-yd)(xa-xb)/2
=∫(0∽t)[-x^2+2ax-t]+(-2t^2+2at)(a-t)/2
=(-x^3/3+ax^2-tx)|{x=t } + t(a-t)^2
=-t^3/3+t^3-t^2+t(a-t)^2
=5t^3/3+(1-2a)t^2+a^2t

Answer 2

由图易得，阴影部分面积为三角形OBD与ABD之和 OA的水平距离为a
所以S=a*BD/2 (两三角形共底边）
要求阴影部分的面积S与t的函数关系式，即求BD的长度表达式
直线x=t(o<t<=1)C1,C2分别交于D,B 所以 YB=-t^2+2at YD=t^2
故BD=YB-YD=-2t^2+2at
所以S=a*(-2t^2+2at)/2=-at^2+a^2t