Question

高一数学函数题。

定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意a,b属于R，有f(a+b)=f(a)f(b)。证明（1）对任意的X属于R，恒有f(x)＞0 （2）f(x)是R上的增函数（步骤请详细点，太直接的话很难理解，谢谢）

Answer 1

（1）取a=b=0,f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)
f(0)[f(0)-1]=0
又f(0)≠0
∴当x=0时
f(0)=1>0
取a=-x,b=x
由已知f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)
∴f(x)=1/f(-x)
当x>0时,f(x)>1
∴当x<0时,-x>0
∴f(x)=1/f(-x)>0
综上 对任意的X属于R，恒有f(x)＞0
（2）由第一问可知对任意的X属于R，恒有f(x)＞0
∴对任意的x1>x2属于R
有f(x1-x2)=f(x1)f(-x2)=f(x1)/f(x2)
∵x1-x2>0
∴f(x1-x2)>1
∴f(x1)/f(x2)>1
即f(x1)-f(x2)>0
∴f(x)是R上的增函数

Answer 2

dafavegrw3edrfgefwsdfrt4rfeds

Answer 3

（1）.证明：
设a=1,b=0,则有f(1)=f(1)*f(0)
由题意当x>0时f(x)>1知f(1)>1,所以f(0)=1.
再设a=-b>0,则有f(0)=f(a)*f(-a)=1>0.而f(a)>1,所以f(-a)=f(b)>0.
有上述可知:对于任意的X属于R，恒有f(x)>0.

Answer 4

先假设a>0，则f(a)>1，且f(a+b)=f(a)f(b)，所以f(a+b)>f(b)。又a>0，因此a+b>b在R上成立，可证增函数。第一问要分类讨论，烦烦烦……