Question

求一道高中证明题

证明：ln（a+b）-ln（2a）小于（b-a）/2a （a大于b大于0）

Answer 1

证明利用函数单调性证明
法1
记f(x)=ln(1+x)-(1/2)(x-1)-ln2,0<x≤1
求导f'(x)=1/(1+x)-1/2=(1-x)/[2(x+1)]>0,0<x<1,可知f(x)在0<x<1上单调递增
又f(x)可在x=1处连续,则f(x)<f(1)=00<x<1,即ln(1+x)-(1/2)(x-1)-ln2<0
亦即ln[(x+1)/2]<(1/2)(x-1)
我们取b/a[∈(0,1)]替换上式x得ln[((b/a)+1)/2]<(1/2)[(b/a)-1]
整理
即ln(a+b)-ln(2a)<(b-a)/(2a),(a>b>0)命题得证

法2
记f(x)=ln(b+x)-ln(2x)-(b-x)/2x,x>b>0
求导易得f'(x)=[b(b-x)]/[2(b+x)x²]<0,x>b>0
知f(x)在x>b>0上单调递减，又f(x)可在x=b处连续
则f(x)<f(b)=0,x>b>0
整理即ln(b+x)-ln(2x)<(b-x)/2x,x>b>0
再取a(>b)替换上式x则有
ln(a+b)-ln(2a)<(b-a)/(2a),(a>b>0)命题得证。