Question

已知sinα+sinβ=1,cosα+cosβ=0,试求cosα平方+cosβ平方的值

Answer 1

1＝（cosα+cosβ）^2 ＋（sinα+sinβ）^2＝2＋2cos(α－β)，所以，cos(α－β)＝－1/2。

－1＝（cosα+cosβ）^2 －（sinα+sinβ）^2＝2cos(α＋β)＋cos2α＋cos2β＝2cos(α＋β)＋2cos(α＋β)cos(α－β)，所以，cos(α＋β)＝－1。

所以，（cosα）^2＋（cosβ）^2＝（cosα+cosβ）^2 －2cosαcosβ＝－2cosαcosβ＝－cos(α＋β)－cos(α－β)＝3/2

追问

2cos(α＋β)＋cos2α＋cos2β＝2cos(α＋β)＋2cos(α＋β)cos(α－β)，
这一步怎么回事

追答

－1＝（cosα+cosβ）^2 －（sinα+sinβ）^2
=[(cosα)^2-(sinα)^2]+[(cosβ)^2-(sinβ)^2]+2cosαcosβ-2sinαsinβ
=[2(cosα)^2-1]+[2(cosβ)^2-1]+2[cos(α+β)]
=cos2α＋cos2β+2cos(α＋β)
=2cos(α＋β)＋2cos(α＋β)cos(α－β)

所以，cos(α＋β)＝－1。

所以，（cosα）^2＋（cosβ）^2＝（cosα+cosβ）^2 －2cosαcosβ＝－2cosαcosβ＝－cos(α＋β)－cos(α－β)＝3/2

其中[2(cosα)^2-1]=[1-2(sinα)^2]=[(cosα)^2-(sinα)^2]

Answer 2

解：令 x =cos α,
y =sin α,
由已知,
cos β = -x,
sin β = 1-y.

所以 x^2 +y^2 =1, (1)
x^2 +(1-y)^2 =1. (2)

(1) -(2) 得
y^2 -(1-y)^2 =0.
解得 y =1/2.
代入(1) 得
x^2 =3/4.

所以 (cos α)^2 +(cos β)^2 =2(x^2)
=3/2.

= = = = = = = = =
以上计算可能有误。
换元法+暴力破解。
即使把1,0换成其他数也可以。