Question

如图,⊙O的直径为5,在⊙O上直径AB的两侧有定点C和动点P.已知BC:CA=4:3,点P在半圆弧AB上运动(不与A,B重合)

如图,⊙O的直径为5,在⊙O上直径AB的两侧有定点C和动点P.已知BC:CA=4:3,点P在半圆弧AB上运动(不与A,B重合)过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.
1.求证AC*CD=PC*BC
2.当点P运动到弧AB中点时,求:CD的长
3.当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大,并求最大值S

Answer 1

1：证明如下：
因为∠CAB和∠CPB同弧所对，所以他们相等
又由题意得∠ACB=∠PCD=90°，所以三角形CAB相似于三角形CPD所以得证
2.当p运动到ab弧的中点时,连接ap，∵ab是⊙o的直径，∴∠apb=90。，又∵p是弧ab的中点，∴弧pa=弧pb，∴ap=bp，∴∠pab=∠pba=45.,又ab=5，∴pa= ，过a作am⊥cp，垂足为m，在rt△amc中，∠acm=45 ，∴∠cam=45，∴am=cm= ，在rt△amp中，am2+ap2=pm2，∴pm= ，∴pc=pm+ = 。由（1）知：ac•cd=pc•bc ，3×cd=pc×4，∴cd＝
（3）由（1）知：ac•cd=pc•bc，所以ac：bc=cp：cd；
所以cp：cd=3：4，而△pcd的面积等于 • = ，
cp是圆o的弦，当cp最长时，△pcd的面积最大，而此时c
p就是圆o的直径；所以cp=5，∴3：4=5：cd；
∴cd= ，△pcd的面积等于 • = = ；

Answer 2

解：（1）△PCQ∽△ACB；
理由：∵CP⊥CQ，AB是⊙O的直径，
∴∠PCQ=∠ACB=90°，
∵∠A=∠P，
∴△PCQ∽△ACB；
（2）当PC过圆心时，△ABC≌△PCB．（4分）
证明：∵PC和AB都是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠PBC=90°，（5分）
且AB=PC，（6分）
又∠A=∠P．（7分）
∴△ABC≌△PCB．（8分）

Answer 3

第一题用相似三角形解就行了。那个三角形ABC和三角形PCD相似。就可以证出来了