Question

三个微分方程问题请教高手，(x-2xy-y^2)dy+y^2 dx=0(一阶线性非齐次方程)怎么变形得出？

y''-3y'+3y=3x-2(e^x)这方程是齐次还是非齐次？函数y=c-sinx(c是任意常数)是微分方程y''=sinx的（是解，但既非通解也非特解）这个答案怎么得出的？先谢谢了

Answer 1

1 (x-2xy-y^2)dy+y^2dx=0 (x-2xy-y^2)dy/dx=-y^2
(x-2xy-y^2)d(1/y)/dx=1 [x-2x/(1/y)-1/(1/y)^2]d(1/y)/dx=1
(x-2x/u-1/u^2)du/dx=1 (x-2x/u-1/u^2)du=dx
xdu-2xdu/u-du/u^2=dx
xdu-2xdu/u=dx
d(u-2lnu)=d(lnx)
u-2lnu=lnx+C
x=C1 e^u /u^2 +C2
C2(u)'=-1/u^2,C2(u)=1/u
x=C1e^u/u^2-1/u
2
y''-3y'+3y=3x-2(e^x)这方程是齐次线性方程
3
y=C-sinx, (y'=-cosx,y''=sinx,)是微分方程y''=sinx的解
y''=sinx
y'=-cosx+C1
y=-sinx+C1x+C2 （通解）
因y=C-sinx含有未定常数项C，所以不是特解。

追问

老师还有2题再麻烦看下y''-3y'+2y=3x-2(e^x)的特解y*的形式,答案（ax+b)+cx(e^x)，另一题微分方程xy'+y=e^x满足条件y（a）=b的特解，答案（e^x+ab-e^a）/x,麻烦老师再教下，给出步骤，先谢谢了^-^

追答

1
y''-3y'+2y=3x-2(e^x) y''-3y'+2y=0,y=c1e^2t+c2e^t+c3, 特解y=c2(x)e^t+c3(x),-3c2'(x)e^t+2c3(x)=3x-2e^x,-3c2'(x)=2 c2'(x)=-2x/3,2c3(x)=3x,c3(x)=3x/2,特解y=3x/2+(-2x/3)(e^x)
2
xy'+y=e^x xy'+y=0 y=C1/x 解y=c1(x)/x x*c1'(x)/x=e^x dc1(x)=e^xdx c1(x)=e^x+C2
y=(e^x+c2)/x y(a)=(e^a+c2)/a=b,c2=ab-e^a,特解y=(e^a+ab-e^a)/x

Answer 2

第一个方程以y为变量可化为
x'+x(1-2y)/y^2=1
这是变系数非齐次方程
第二个方程是非齐次,对应的齐次方程为
y''-3y'+3y=0
第三个方程的通解为
y=C1x+C2-sinx
因此c-sinx可以说是满足这一形式的所有特解

Answer 3

就方程(x-2xy-y^2)dy+y^2 dx=0而言
由dx/dy=(y^2+2xy-x)/y^2 即：dx/dy=((2y-1)/y^2)x+1
------（1）现在将x看成因变量把y看成自变量则可以用常数变易法即：dx/dy=((2y-1)/y^2)x
的解为：(1/x)dx=(2/y-1/y^2)dy 解出之后，按常数变易法的方法即可解出。

y''-3y'+3y=3x-2(e^x）是非齐次的
第三个方程的通解为
y=C1x+C2-sinx
因此c-sinx可以说是满足这一形式的所有特解因为c的任意性