Question

已知函数f(x)=log2(x^2+1)(x≥0) (以2为底）,g(x)=√(x-a)(a∈R) 求 ①函数f(x)的反函数f^-1(x)

②函数h(x)=f^-1(x)+g(x),求函数h(x)的定义域，并判断h(x)的单调性；
③若②中函数h(x),有h(x)≥2在定义域内恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

1.2^y=x^2+1,x=√(2^y-1),f^-1(x) =√(2^x-1),(x≥1)
2.x≥a且x≥1,故当a≥1时函数h(x)的定义域为x≥a,当a<1时，函数h(x)的定义域为x≥1
因为f^-1(x)与g(x)都是增函数，故h(x)是单调增函数
3.当a≥1时函数h(x)的最小值为h(a)=√(2^a-1)≥2,a≥log25(2为底数）
当a<1时，函数h(x)的最小值为h(1)=1+√(1-a)≥2,a≤0