Question

一道高二数学题，急求解析

设f(x)、g(x)分别是定义域R上的奇函数和偶函数,当x<0时u,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,则f(x)g(x)<0的解集为

Answer 1

解：
由题设可知，对任意实数x∈R,恒有：
f(-x)=-f(x),且g(-x)=g(x).同时，f(0)=0.
两个等式相乘，可得：f(-x)g(-x)=-f(x)g(x).
构造函数h(x)=f(x)g(x). (x∈R).
易知，恒有h(-x)=-h(x),且h(0)=0.
∴函数h(x)=f(x)g(x)为奇函数。求导可知：
h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
由题设可知，当x＜0时，有h′(x) ＞0.
∴在(-∞,0)上，函数h(x)递增。
∴由奇函数单调性可知，在(0,+ ∞)上，奇函数h(x)递增。
∴当a＜0＜b时，恒有h(a) ＜0＜h(b).
∴不等式f(x)g(x) ＜0的解集为R-.

Answer 2

x<0 f(x)g(x)递增 所以f(x)g(x)<f(0)g(0)=0*g(0)=0,
x>0时-x<0,f(-x)g(-x)<0,即-f(x)g(x)<0,f(x)g(x)>0
所以f(x)g(x)<0的解集为x<0