Question

【初三数学几何题】16、如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，AB=CD=AD=2，∠B=60°。点E是AB的中点，以DE为边向右

如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，AB=CD=AD=2，∠B=60°。点E是AB的中点，以DE为边向右下方作正三角形DEF，边EF、DF分别交BC于P、Q两点，则PQ长= 。

Answer 1

BC中点为G。连接AG、FG。
由条件知等腰梯形ABCD，内角60度，相当于3个等边三角形ABG、ADG、CDG。
△ADE相等于△GDF（边角边）
所以∠DGF=∠DAE=120度。所以A、G、F在一条直线上。
所以∠QGF=60度；GF=AE。
所以△GQF∽△CQD
所以GQ：CQ=QF：CD=AE：CD=1:2
所以CQ=2/3 * GC = 2/3 * CD =4/3.
再∠QDC=∠QPF=∠BPE
所以△DCQ∽△PBE
所以BP：CD=BE：CQ
BP=BE/CQ *CD = 1*2/ (4/3) = 3/2
所以PQ=BC-BP-CQ=4-3/2-4/3 =2-1/2 -1/3 = 7/6

Answer 2

解：首先连接E点和AC得中点G，交AF于M,连接BM，简单的相似自己证明，BP=BE*PF/QF，PQ=PF*EM/EF，QC=AC*MC/AG，因为BE/QF=EM/EF,所以BP等于PQ，然后证明三角形AQC,EFM,BPE,三个两两相似，然后证得QC等于BP，所以P,Q点为线段BC的三等分点，所以PQ等于4/3（如果BC不会解，继续追问吧)

追问

不懂===我画红线处===你的意思哦，，，，
谢谢，，，，

Answer 3

可以证明三角形BEP与三角形CDQ相似

Answer 4

取BC中点为G。连接AG、FG。
由条件知等腰梯形ABCD，内角60度，得到3个等边三角形ABG、ADG、CDG。
△ADE全等于△GDF（边角边）
所以∠DGF=∠DAE=120度。所以A、G、F三点共线。故∠QGF=60度；GF=AE。
所以△GQF∽△CQD
所以GQ：CQ=QF：CD=AE：CD=1:2
所以CQ=2/3 * GC = 2/3 * CD =4/3.
再∠QDC=∠QPF=∠BPE
所以△DCQ∽△PBE
所以BP：CD=BE：CQ
BP=BE/CQ *CD = 1*2/ (4/3) = 3/2
所以PQ=BC-BP-CQ=4-3/2-4/3 =2-1/2 -1/3 = 7/6 这题有点难