Question

已知△ABC中，AB=AC，点O在△ABC内部，∠BOC=90°。OB=OC，D、E、F、G分别的

已知△ABC中，AB=AC，点O在△ABC内部，∠BOC=90°。OB=OC，D、E、F、G分别的AB、OB、OC、AC的中点。
（1）求证：DEFG是矩形;
(2)若DE=2，EF=3，求△ABC的面积。

Answer 1

(1)证明：连接OA
因为OB=OC
所以角OBC=角OCB
因为角BOC=90度
所以三角形BJOC是等腰直角三角形
所以角OBC=角OCB=45度
因为AB=AC
所以角ABC=角ACB
因为角ABC=角ABO+角OBC
角ACB=角ACO+角OCB
所以角ABO=角ACO
所以三角形ABO和三角形ACO全等（SAS)
所以角AOB=角AOC
S三角形AOB=S三角形AOC
因为D ,E ,F ,G分别是AB ,OB ,OC .AC的中点
所以DE EF ,FG ,DG分别是三角形AOB ,三角形OBC，三角形AOC，三角形ABC的中位线
所以DE平行OA
DE=1/2OA
EF平行BC
所以角OEF=角OFE=角OBC=角OCB=45度
GF平行OA
GF=1/2OA
所以角AOC+角OFG=180度
所以DE=GF
DE平行GF
所以四边形DEFG是平行四边形
因为角BOC+角AOB+角AOC=360度
角BOC=120度
所以角AOB=角AOC=135度
所以角OFG=45度
因为角EFG=角OFE+角OFG=45+45=90度
所以四边形DEFG是矩形
（2）解：因为DE=1/2OA
DE=2
所以OA=4
因为EF=1/2BC
EF=3
所以BC=9
因为三角形OBC是等腰直角三角形（已证）
所以S三角形OBC=1/2OB*OC
BC^2=OB^2+OC^2
所以OB=OC=3倍根号2
所以S三角形OBC=9
因为S三角形AOB=1/2*OA*OB*sin角AOB
角AOB=135度
所以S三角形AOC=S三角形AOB=12
因为三角形ABC=S三角形AOC+S三角形AOB+S三角形BOC
所以S三角形ABC=9+12=21
所以三角形ABC的面积是21