Question

点P在圆O外,PA与圆O相切于A,OP与圆周角相交于C,B与A关于直线PO对称,OA=4,PA=4倍根

4倍根号3,求:1.∠POA的度数 2.弦AB长? 3阴影部分的面积

Answer 1

（1）
∵PA切圆与A
∴OA⊥PA
∴tanPOA=PA/OA=4根号3 /4=根号3
∴∠POA = 60°

（2）
将AB与OP的交点命名为D点
则AD=BD
∵OC为半径，AD=BD
∴OC⊥AB
∴∠OAD=90°-∠AOD=30°
∴AD=OAcos30°=4*根号3/2=2根号3
∴AB=2AD=4根号3

（3）
S△OAP=1/2OA*AP=1/2*4*4根号3=8根号3
SOAC=π*OA^2*∠AOC/360°=π*4^2*60/360=8π/3
阴影面积=8根号3-8π/3=8(根号3-π/3)≈5.483

Answer 2

解：1.
在直角三角形AOP中
∵tg∠POA=PA/OA=4√3/4=√3
∴∠POA=60度
2.
设AB与OP相交于D点
∵ B与A关于直线PO对称
∴直角三角形AOP斜边OP上的高AD=1/2AB
由勾股定理，得 OP^2=OA^2+AP^2=4^2+(4√3)^2=16+48=64
∴OP=8
又 直角三角形AOP的面积=1/2*OA*AP=1/2*AD*OP
即 1/2*4*4√3=1/2*AD*8
∴AD=2√3
∴弦AB=2AD=2*2√3=4√3
3.
阴影部分的面积=三角形AOP的面积-扇形AOC的面积
=1/2*OA*AP-π*60/360*OA^2
=1/2*4*4√3-π/6*4^2
=8√3-8π/3