Question

设X-N（0,1），求Y=X^2的概率密度

Answer 1

Fy(y)=Fx(sqrt(y))-Fx(-sqrt(y))=2Fx(sqrt(y))-1

Y>0,fy(y)=2fx(sqrt(y))*[y^(1/2)]'

=[2/sqrt(2pi)]e^[-(y/2)]*(1/2)y^[-1/2]

例如：

X的概率密度函数：f_X(x)=1/√(2π)·e^(-x^2/2)

y≤0时，F_Y(y)=P{Y<y}=P{X^2<y}=0

f_Y(y)=0

y>0时，F_Y(y)=P{Y<y}=P{X^2<y}=P{-√zhiy<X<√y}=F_X(√y) - F_X(-√y)

f_Y(y)=F'_Y(y)=F'_X(√y) - F'_X(-√y)=f_X(√y)*[1/(2√y)] - f_X(-√y)*[-1/(2√y)]

=1/(2√y)*[f_X(√y) + f_X(-√y)]=1/(2√y)*{1/√(2π)·e^[-(√y)^2/2]+1/√(2π)·e^[-(-√y)^2/2]}

=1/(2√y)*2*1/√(2π)*e^(-y/2)=1/√(2πy)*e^(-y/2)

综上：Y的概率密度函数f_Y(y)=

｛0, y≤0

｛1/√(2πy)*e^(-y/2), y>0

扩展资料：

单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

参考资料来源：百度百科-概率密度

Answer 2

我记得是课本的例题,不是太难

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