Question

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,已知AB=√2,BC=1,BB1=2, ∠BCC1=90° ,AB⊥平面BB1C1C

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,已知AB=√2,BC=1,BB1=2, ∠BCC1=90° ,AB⊥平面BB1C1C,E为CC1的中点.（1）求证EA⊥EB1（2）求二面角A—EB1—A1的大小（3）求点A1到平面AB1C1的距离

Answer 1

向量法:∵AB⊥面BB1C1C,∴CC1⊥AB
∵CC1⊥BC,∴CC1⊥面ABC,即三棱柱是直三棱柱.
∴以B为原点,BA,BC,BB1为坐标轴正方向建立直角坐标系,那麼
(1)A(√2,0,0),B1(0,0,2),E(0,1,1)
∴AE→=(-√2,1,1),EB1→=(0,-1,1)
AE→*EB1→=0-1+1=0,∴AE⊥EB1
(2)设面AEB1的法向量n1→=(x1,y1,1)
则∵n1→⊥AE→.∴-√2x1+y1+1=0
∵n1→⊥EB1→,∴-y1+1=0,∴n1→=(√2,1,1)
B1A1→=(√2,0,0),设面A1B1E法向量n2→=(x2,y2,1)
则∵n2→⊥B1A1,∴√2x2=0
-∵n2→⊥EB1,∴y2+1=0,∴n2→=(0,1,1)
cos<n1→,n2→>=(0+1+1)/(√4*√2)=√2/2
由图像得二面角的大小为arccos√2/2=45°
(3)B1C1→=(0,1,0),AB1→=(-√2,0,2)
设面AB1C1的法向量n3→=(x3,y3,1)
则∵n3→⊥B1C1→∴y3=0
∵n3→⊥AB1→,∴-√2x3+2=0,∴n3→=(√2,0,1)
A1到面AB1C1的距离d=|n3→*B1A1→|/|n3→|=2/√(2+1)=2√3/3

几何法:由向量法得三棱柱为直三棱柱
(1)勾股定理BB1=2,AB=√2,∴AB1=√6
B1C1=1,C1E=CC1/2=1,∴B1E=√2
AC=√(AB²+BC²)=√3,CE=1,∴AE=2
AB1²=B1E²+AE²=,∴AE⊥EB1
(2)易证A1E=AE=2,∵B1E=A1B1=√2,∴∠A1B1E=90°
过E作A1B1的平行线,过A1作B1E的平行线,两线相交於F,则四边形A1B1EF是正方形
∴EF⊥B1E,EF=A1B1=√2
又∵AE⊥B1E,∴∠FEA是二面角的平面角
连接AF,BE,∵EF∥A1B1∥AB,EF=A1B1=AB,∴四边形ABEF是平行四边形
∴AF=BE=B1E=√2
AE=2,EF=√2,∴△AEF是等腰直角三角形
∴∠FEA=45°,即二面角大小为45°
(3)∵B1C1⊥B1A1,B1C1⊥BB1,∴B1C1⊥面A1B1BA
作A1G⊥AB1於G,则有B1C1⊥A1G
∴A1G⊥面AB1C1,即A1G是A1到面AB1C1的距离
在Rt△AA1B1中,有AB1*A1G=AA1*A1B1=2S△AA1B1,解得A1G=2√3/3