Question

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b²+c²=a²+bc. ①求角A的大小;

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b²+c²=a²+bc. ①求角A的大小; ②若sinB·sinC=sin²A,试判断△ABC的形状.

Answer 1

(1)余弦定理：
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=1/2
A=60°
(2)由正弦定理
a/sina=b/sinb=c/sinc
sinB·sinC=sin²A
得到bc=a^2
b²+c²=a²+bc=2bc
(b-c)^2=0 得出b=c
又A=60°
所以三角形为等边三角形

Answer 2

解：
(1)
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
由已知b²+c²=a²+√3bc得a²=b²+c²-√3bc
2bccosA=√3bc
cosA=√3/2
A=π/6
sinAsinB=cos²(C/2)
sinAsinB=(1+cosC)/2
2sinAsinB=1-cos(A+B)
2sinAsinB=1-cosAcosB+sinAsinB
cosAcosB+sinAsinB=1
cos(A-B)=1
A-B=0 B=A=π/6
C=π-π/6-π/6=2π/3
(2)
三角形是等腰三角形，A=B，CM=BM=a/2=b/2
由余弦定理得
(√7)²=b²+(a/2)²-2b(a/2)cosC
b=a，C=2π/3代入，整理，得
7a²/4=7
a²=4
a=b=2
S△ABC=(1/2)absinC=(1/2)×2×2×sin(2π/3)=√3