Question

悬赏很高哦！一道函数微分的题！不过过程一定要详细！

已知四个点P1(-2,1,1),P2(2,-1,1),P3(1,-2,1),P4(-1,2,1)都满足方程F(x,y,z)=x^2+xy+y^2+z^2-2z-2=0,则由方程F(x,y,z)=0必可确定唯一的连续可微函数是什么？

Answer 1

其实此题是关于函数的隐函数存在问题,以及存在几个函数的问题,给出的四个点是让你检验求出的微分方程是否成立.
下面给出答案:
对方程F(x,y,z)=x^2+xy+y^2+z^2-2z-2=0求微分
则,2X*DX+Y*DX+X*DY+2Y*DY+2Z*DZ-2*DZ=0
(2X+Y)*DX+(X+2Y)*DY+(2Z-2)*DZ=0
此时看哪一个微分项在带入各点得零的,每一个点只能唯一确定一个可微函数.得证

追问

此时看哪一个微分项在带入各点得零的,每一个点只能唯一确定一个可微函数.得证
这句话没明白。微分我会求，但带入各点有什么意义呢？麻烦你把答案解出来呗！

追答

接答：当在点P1(-2,1,1),带入上面得证的式子，微分方程变为-3DX=0则DX=0
P2(2,-1,1） 微分方程变为3DX=0则DX=0
P3(1,-2,1), 微分方程变为-3DY=0则DY=0
P4(-1,2,1) 微分方程变为3DY=0则DY=0
所以DZ=0
唯一的连续可微函数Z=C，

追问

备选答案是：
z=z(x,y)
y=y(x,z)
y=y(x,z)
x=x(y,z)

Answer 2

F对x偏导F'x,F对y偏导F'y,F对z偏导F'z
F'x=2x+y,F'y=2y+x,F'z=2z-2
F'x对y偏导(F'x)'y, F'y对x偏导(F'y)'x
(F'x)'y=1,(F'x)'y=1, (F'x)'y=(F'y)'x
唯一可微的函数是z=z(x,y)