Question

如图，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的DE边上，连接AE,CG

将正方形DEFG绕点D按顺时针，使点E落在BC边上，连接AE,GC,猜想AECG的关系

Answer 1

解：（1）答：AE⊥GC；（1分）
证明：延长GC交AE于点H，
在正方形ABCD与正方形DEFG中，
AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，
DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠1=∠2；（3分）
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°，
∴AE⊥GC．（5分）

（2）答：成立；（6分）
证明：延长AE和GC相交于点H，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，
AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°-∠3；
∴△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4；（8分）
又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，
∴∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC．（10分）
（其它证法可参照给分）

Answer 2

解：（1）答：AE⊥GC；（1分）
证明：延长GC交AE于点H，
在正方形ABCD与正方形DEFG中，
AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，
DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠1=∠2；（3分）
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°，
∴AE⊥GC．（5分）
（2）答：成立；（6分）
证明：延长AE和GC相交于点H，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，
AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°-∠3；
∴△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4；（8分）
又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，
∴∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC．（10分）

Answer 3

答：AE⊥GC；（1分）
证明：延长GC交AE于点H，
在正方形ABCD与正方形DEFG中，
AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，
DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠1=∠2；（3分）
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°，
∴AE⊥GC．（5分）

（2）答：成立；（6分）
证明：延长AE和GC相交于点H，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，
AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°-∠3；
∴△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4；（8分）
又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，
∴∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC．

Answer 4

 (1) 答：AE⊥GC。
      [证明] 延长GC交AE于点H。在正方形ABCD与正方形
            DEFG中，AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG，
            ∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2，∵∠2 ∠3=90°，
            ∴∠1 ∠3=90°，∴∠AHG=180°-(∠1 ∠3)=180°-90°
            =90°，∴AE⊥GC。
   (2) 答：成立。
      [证明] 延长AE和GC相交于点H。在正方形ABCD与
            正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，
            ∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
            ∴∠∴△ADE1=∠2=90°-∠3，≌△CDG，
            ∴∠5=∠4，又∵∠5 ∠6=90°，
            ∠4 ∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，∠6=∠7，
            又∵∠6 ∠AEB=90°∴∠AEB=∠CEH，
            ∴∠CEH ∠7=90°，∴∠EHC=90°，∴AE⊥GC。