Question

在高等数学中，例如：lim(sinx/x),当x->∞时，极限的正确证法为lim(1/x*sinx),|sinx|<=1,极限为0。

为什么不能使用等价无穷小替换，即：lim(1/x*sinx)=lim(x/x)=1,初步想法为：lim(1/x*sinx)=(limsinx)/lim(x),由于limsinx,当x->∞时，极限不存在，则无法使用无穷小替换，希望知道的解释下，多谢。

Answer 1

首先，x->∞时，sinx 不是无穷小，且它的极限也不存在
第二，当其一极限不存在的时候lim(1/x*sinx)=(limsinx)/lim(x)是错误的式子
第三，当x->∞时，lim(1/x*sinx)的求极限的原因就是，无穷小与有限量地积仍为无穷小，即极限为零
希望对你有帮助^ ^

Answer 2

对于正弦函数y=sinx来说，无论x取什么值，y的取值范围始终是-1≤y≤1，因此当x->∞时，sinx/x=0

Answer 3

呵呵！纠正楼主的错误理解！！！！！
什么是等价无穷小？楼主理解错了！

追问

请高手指教。

追答

呵呵，只有当x→0时，x~sinx 才成立啊！
此时才能用无穷小替换的！
也就是说，等价无穷小，必须满足其“无穷小“的前提条件！