Question

已知函数f（x）=sin（2x-π6）定义在区间[-π12，π2]上，（1）求f（x）函数的单调增区间；（2）若f2（x

已知函数f（x）=sin（2x-π6）定义在区间[-π12，π2]上，（1）求f（x）函数的单调增区间；（2）若f2（x）-2f（x）+m≥0对定义域内的所有x都成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）对于函数f（x）=sin（2x-

π

6

），令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
可得函数的增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
再根据函数的定义域为[-

π

12

，

π

2

]，可得函数的增区间为[-

π

12

，

π

3

]．
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，∴sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]，即f（x）∈[-

3

2

，1]
根据f²（x）-2f（x）+m≥0对定义域内的所有x都成立，可得f²（x）-2f（x）的最小值大于或等于-m，
即[f（x）-1]²≥1-m 恒成立，∴（1-1）²≥1-m，求得m≥1，即m的范围为[1，+∞）．