Question

已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an+2+2an＝3an+1(n∈N*)．（1）求证：数列{an+1-an}是等比数列，并求{an}

已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an+2+2an＝3an+1(n∈N*)．（1）求证：数列{an+1-an}是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）记数列{an}的前n项和Sn，求使得Sn＞21-2n成立的最小整数n．

Answer 1

（1）证明：a1＝1，a2＝4，an+2+2an＝3an+1(n∈N*)
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），a₂-a₁=3
∴数列{a_n+1-a_n}是以3为首项，公比为2的等比数列，
∴a_n+1-a_n=3?2^n-1（3分）
∴n≥2时，
a_n-a_n-1=3?2^n-2，
an?1?an?2＝3?2n?3
…
a₃-a₂=3?2，
a₂-a₁=3，
以上n-1个式子累加得a_n-a₁=3?2^n-2+3?2^n-3+…+3?2+3=3（2^n-1-1）
∴a_n=3?2^n-1-2
当n=1时，a1＝3?20?2＝1也满足
从而可得an＝3?2n?1?2（6分）
（2）解：由（1）利用分组求和法得
S_n=（3?2⁰-2）+（3?2¹-2）+…（3?2^n-1-2）
=3（2⁰+2¹+…+2^n-1）-2n
=3×

1?2n

1?2

-2n
=3（2ⁿ-1）-2n（9分）
S_n=3（2ⁿ-1）-2n＞21-2n，
得3?2ⁿ＞24，即2ⁿ＞8=2³，
∴n＞3
∴使得S_n＞21-2n成立的最小整数4．（12分）