Question

已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）．（1）若f（x）定义域为R，求a的取值范围；（2）若f（1）=1，求f（x）

已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）．（1）若f（x）定义域为R，求a的取值范围；（2）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）因为f（x）的定义域为R，所以ax²+2x+3＞0对任意x∈R恒成立，
显然a=0时不合题意，从而必有

a＞0 △＝4?12a＜0

，解得a＞

1

3

，
即a的取值范围是（

1

3

，+∞）．
（2）因为f（1）=1，所以log₄（a+5）=1，因此a+5=4，a=-1，
这时f（x）=log₄（-x²+2x+3）．
由-x²+2x+3＞0得-1＜x＜3，即函数定义域为（-1，3）．
令g（x）=-x²+2x+3．
则g（x）在（-1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，
又y=log₄x在（0，+∞）上单调递增，
所以f（x）的单调递增区间是（-1，1），单调递减区间是（1，3）．
（3）假设存在实数a使f（x）的最小值为0，则h（x）=ax²+2x+3应有最小值1，
因此应有

a＞0 3a?1 a ＝1

，解得a=

1

2

．
故存在实数a=

1

2

，使f（x）的最小值为0．