Question

设函数f（x）=lnx+mx，m∈R．（1）若函数g（x）=f′（x）-x3只有一个零点，求m的取值范围；（2）若对于任

设函数f（x）=lnx+mx，m∈R．（1）若函数g（x）=f′（x）-x3只有一个零点，求m的取值范围；（2）若对于任意b＞a＞0，f(b)?f(a)b?a＜1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=lnx+

m

x

，
∴g（x）=f′（x）-

x

3

=

1

x

-

m

x2

-

x

3

=

?x3+3x?3m

3x2

，
若g（x）只有一个零点，则h（x）=-x³+3x-3m只有一个零点，
∵h′（x）=-3x²+3=0时，x=±1，
故当x=-1时，h（x）取极小值-3m-2，
当x=1时，h（x）取极大值-3m+2，
若h（x）=-x³+3x-3m只有一个零点，
则-3m-2＞0，或-3m+2＜0，
解得：m＜-

2

3

，或m＞

2

3

（2）若对于任意b＞a＞0，

f(b)?f(a)

b?a

＜1恒成立，
则f′（x）=

1

x

-

m

x2

=

x?m

x2

＜1在（0，+∞）上恒成立，
即x²-x+m＞0在（0，+∞）上恒成立，
由y=x²-x+m的图象是开口朝上，且以直线x=

1

2

为对称轴的抛物线，
故

4m?1

4

＞0，
解得：m＞

1

4

．