Question

已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点．（1）若以AB为直径的圆经过原点O

已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点．（1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．

Answer 1

（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y2＝4x y＝kx+2

，得k²x²+（4k-4）x+4=0，
则由△=（4k-4）²-16k²=-32k+16＞0，得k＜

1

2

，
x1+x2＝?

4k?4

k2

=

4?4k

k2

，x1x2＝

4

k2

，
所以y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

8

k

，
因为以AB为直径的圆经过原点O，
所以∠AOB=90°，
即

OA

?

OB

＝0，
所以

OA

?

OB

＝x1x2+y1y