Question

已知在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC上一点，AD与BE交于点F，且F为AD的中点，ND∥AC交BE于N．（1）求证

已知在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC上一点，AD与BE交于点F，且F为AD的中点，ND∥AC交BE于N．（1）求证：ND=AE；（2）若CB=4BD，AE=2cm，求AC的长；（3）在（2）的条件下，S△BND=6，求四边形DCEF的面积．

Answer 1

解：（1）∵ND∥AC，
∴∠FAE=∠FDN，
在△AEF与△DNF中，

∠FAE＝∠FDN DF＝AF ∠DFN＝∠AFE

，
∴△AEF≌△DNF（ASA），
∴ND=AE；
（2）∵ND∥AC，
∴△BDN∽△BCE，
∴

BD

BC

=

ND

EC

，
∵CB=4BD，AE=ND=2cm，
∴EC=4ND=8cm，
∴AC=EC+AE=8+2=10cm；
（3）∵△BDN∽△BCE，
∴

S△BDN

S△BCE

=（

BD

BC

）²=

1

16

，
∵S_△BND=6，
∴S_△BCE=96，
连接CF，设△AEF的面积为S，则S_△NDF=S，
∵AE=2cm，EC=8cm，CB=4BD，
∴△EFC的面积为4S，△DFC的面积为3（6+S），
∵S_△BDN+S_△NDF+S_△DFC+S_△EFC=S_△BCE
∴6+S+3（6+S）+4S=96，解得：S=9，
∴S_{四边形DCEF}=3（6+S）+4S=81．