Question

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点，连结PA、PB、PC、PD．

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点，连结PA、PB、PC、PD．（1）如图，设PD2=x，当x=20-8320-83时，∠PAB=60°；（2）若△PAD是等腰三角形，求PA的长度．

Answer 1

（1）过点E作PE⊥AD于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB=4，
若∠PAB=60°，则需∠PAD=30°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∴∠ABP=30°，
∴PA=

1

2

AB=2，
∴PE=

1

2

PA=1，
∴AE=

PA2?PE2

=

3

，
∴DE=AD-AE=4-

3

，
∴PD²=PE²+DE²=20-8

3

；
故答案为：20-8

3

；

（2）①当PA=PD时，
此时P位于四边形ABCD的中心，
过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
则四边形EAMP是正方形，
∴PM=PE=

1

2

AB=2，
∵PM²=AM?BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2

2

，
②当PA=AD时，PA=4；
③当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．
连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，
则△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，
∴AG=2OG，
设AG为2x，OG为x，
∴（2x）²+x²=4，
∴x=

2 5

5

，
∴AG=2x=

4 5

5

，
∴PA=2AG=

8 5

5

；
∴PA=2

2

或4或

8 5

5

．