Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F． （1）

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．

Answer 1

（1）见解析  （2）4

试题分析：（1）连接OE，证明∠OEA=90°即可； （2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH的长，进而求出CE的长． 试题解析：（1）连接OE． ∵OE=OB， ∴∠OBE=∠OEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE=∠EBC， ∴∠EBC=∠OEB， ∴OE∥BC， ∴∠OEA=∠C， ∵∠ACB=90°， ∴∠OEA=90° ∴AC是⊙O的切线； （2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H， 由题意可知四边形OECH为矩形， ∴OH=CE， ∵BF=6， ∴BH=3， 在Rt△BHO中，OB=5， ∴OH=4， ∴CE=4．