Question

如图，矩形ＡＢＣＤ中，Ｏ是ＡＣ与ＢＤ的交点，过点Ｏ的直线ＥＦ与ＡＢ、ＣＤ的延长线分别交于点Ｅ、Ｆ．

如图，矩形ＡＢＣＤ中，Ｏ是ＡＣ与ＢＤ的交点，过点Ｏ的直线ＥＦ与ＡＢ、ＣＤ的延长线分别交于点Ｅ、Ｆ．（1）求证：△ＢＯＥ≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时四边形ＡＥＣＦ是菱形，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AC和BD交于点O ∴AB∥CD; OB=OD    ∴∠OEB=∠OFD   ∵∠BOE=∠DOF      ∴△BOE≌△DOF   (2)解：当EF与AC垂直的时候四边形AECF是菱形。 证明如下： ∵△BOE≌△DOF    ∴ BE="DF" ∵ AB=CD ∴AE=CF且AE∥CF 又∵EF⊥AC ∴ 四边形AECF是菱形

（1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF； （2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．根据已知条件可证明四边形AECF是平行四边形，当EF⊥AC，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定．