Question

已知数列an满足a1=1，a（n+1）-2an=2∧（n+1），求an通式

如题
最后是2的n+1次方，不是2的n次方，能不能不抄网上的啊

Answer 1

a1=1，a2=3，a(n+2)=3a(n+1)-2an。
法一：待定系数法。
设待定系数s、t，使a（n+2）-sa（n+1）=t（a（n+1）-san）。
整理得a（n+2）=（s+t）a（n+1）-stan。
对比原式，得s+t=3，st=2.
解得s=1，t=2或s=2，t=1.
用后一组解，有a（n+2）-2a（n+1)=a(n+1)-2an,a2-2a1=1.
∴数列{a（n+1）-2an}是首项a2-2a1=1，公比q=1的等比数列。
∴a（n+1）-2an=a2-2a1=1，故a（n+1）=2an+1.
则a（n+1）+1=2（an+1），a1+1=2.
∴数列{an+1}是首项a1+1=2，公比q=2的等比数列。
∴an+1=（a1+1）×qⁿ⁻¹=2ⁿ
∴an=2ⁿ-1.
综上，数列{an}的通项公式为an=2ⁿ-1.

法二：数学归纳法。
a1=1，a2=3.
猜想an=2ⁿ-1.
①当n=1、2时，猜想显然成立。
②假设当n=k、k+1时结论成立，则有ak=2^k-1，a（k+1）=2^（k+1）-1.
③当n=k+2时：
a（k+2）=3a（k+1）-2ak
=3×2^（k+1）-3-2×2^k+2
=2×2^（k+1）-1
=2^（k+2）-1.
显然，n=k+2时结论也成立。
综上，由①、②、③得对任意n∈N*，an=2ⁿ-1.

法三：特征方程法。
a（n+2）=3a（n+1）-2an
其特征方程为x^2=3x-2，解得x1=1，x2=2.
从而an=c₁x1ⁿ+c₂x2ⁿ=c₁+c₂×2ⁿ.
代入a1、a2的值，得c1+2c2=1，c1+4c2=3.
解得c1=-1，c2=1，故an=2ⁿ-1.
综上，数列{an}的通项公式为an=2ⁿ-1.

追问

a2=6，你老错了

Answer 2

解答：
a(n+1)=2a(n)/[a(n)+2]
取倒数
1/a(n+1)=[a(n)+2]/[2a(n)]=1/2+1/a(n)
∴ 1/a(n+1)-1/a(n)=1/2
即{1/a(n)}是等差数列，首项为1/a1=1/2,公差为1/2
∴1/a(n)=1/2+(1/2)(n-1)=n/2
∴ an=2/n

Answer 3

由题得a(n) - 2a(n-1) =2^n，两边乘二得2a(n) - 4a(n-1) =2^(n+1)
把所有的都列出来
式子1 ： a(n+1) - 2an =2^(n+1),
式子2 ： 2a(n) - 4a(n-1) =2^(n+1),
式子3 ： 4a(n-1) - 8a(n-2) =2^(n+1),
…… ……
式子n ： 2^(n-1) * a2 - 2^n * a1 = 2^(n+1)
把所有式子相加，得到a(n+1) - 2^n * a1=2^(n+1) * n
最后a(n+1)=2^(n+1)*n + 2^n
从而an易得=2^n*(n-1) + 2^(n-1)