Question

若数列An：a1，a2，…，an（n≥2）满足|ak+1-ak|=1（k=1，2，…，n-1），则称An为E数列，记S（An）=a1+a2

若数列An：a1，a2，…，an（n≥2）满足|ak+1-ak|=1（k=1，2，…，n-1），则称An为E数列，记S（An）=a1+a2+…+an．（Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1=a3=0；（Ⅱ）若a1=12，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011；（Ⅲ）在a1=4的E数列An中，求使得S（An）=0成立得n的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）0，1，0，1，0是一个满足条件的E数列A₅
（答案不唯一，0，-1，0，-1，0或0，±1，0，1，2或0，±1，0，-1，-2
或0，±1，0，-1，0都满足条件的E数列A₅）
（Ⅱ）必要性：因为E数列A_n是递增数列
              所以a_k+1-a_k=1（k=1，2，…，1999）
              所以A_n是首项为12，公差为1的等差数列．
              所以a₂₀₀₀=12+（2000-1）×1=2011
      充分性：由于a₂₀₀₀-a₁₉₉₉≤1
                  a₁₉₉₉-a₁₉₉₈≤1
                     …
                  a₂-a₁≤1，
        所以a₂₀₀₀-a₁≤1999，即a₂₀₀₀≤a₁+1999
        又因为a₁=12，a₂₀₀₀=2011
        所以a₂₀₀₀≤a₁+1999
        故a_k+1-a_k=1＞0（k=1，2，…，1999），即A_n是递增数列．
     综上所述，结论成立．
（Ⅲ）对首项为4的E数列A_n，由于
        a₂≥a₁-1=3
         a₃≥a₂-1≥2
             …
          a₈≥a₇-1≥-3
             …
    所以a₁+a₂+…+a_k＞0（k=2，3，…，8）
    所以对任意的首项为4的E数列A_n，若S（A_n）=0，则必有n≥9
    又a₁=4的E数列A₉：4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4满足S（A₉）=0
    所以n的最小值是9．