Question

高中基础函数问题

已知函数f(x)=(x² + a²)/x (a＞0） 求证：函数f(x)在区间（0，a] 上是减函数
请详细解下 谢谢
学过导数 但是我用求导的方法做了将近1小时，都没做出来啊……原函数是f(x)=（X²+a²）整体比上x 也就是x分之（x²+a²） 不是x² +a²/x

Answer 1

f(x)=x+a²/x,
f’(x) =1-a²/x²=（x²-a²）/ x²
x在（0，a],则x²在（0，a²]，则x²<=a²,所以x²-a²<=0
即f’(x) <=0在区间（0，a] 上恒成立，所以函数f(x)在区间（0，a] 上是减函数

追问

原函数是f(x)=（X²+a²）整体比上x 也就是x分之（x²+a²） 不是x² +a²/x

追答

f(x)=（X²+a²）/x=x²/x+a²/x=x+a²/x,

Answer 2

已知函数f(x)=(x² + a²)/x (a＞0） 求证：函数f(x)在区间（0，a] 上是减函数
证明：f′(x)=[2x²-(x²+a²)]/x²=(x²-a²)/x²=(x+a)(x-a)/x²
当-a≤x<0和0<x≤a时f′(x)≤0，即函数f(x)=(x²+a²)/x在区间[-a，0)∪(0，a]上单调减，,故在(0，a]
上必是减函数。

Answer 3

f(x)=x+a²/x,
f’(x) =1-a²/x²=（x²-a²）/ x²
x在（0，a],则x²在（0，a²]，则x²<=a²,所以x²-a²<=0
即f’(x) <=0在区间已知函数f(x)=(x² + a²)/x (a＞0） 求证：函数f(x)在区间（0，a] 上是减函数
证明：f′(x)=[2x²-(x²+a²)]/x²=(x²-a²)/x²=(x+a)(x-a)/x²
当-a≤x<0和0<x≤a时f′(x)≤0，即函数f(x)=(x²+a²)/x在区间[-a，0)∪(0，a]上单调减，,故在(0，a]
上必是减函数。 （0，a] 上恒成立，所以函数f(x)在区间（0，a] 上是减函数

Answer 4

关于你的追问
令f'(x)=1--a²/x^2=0 可以求得X=-a或a 并且由题可知0不在定义域
我们可以验证在（-无穷,-a] （-a,0）并（0，a] （a,+无穷）上的正负性
得出 正 小于或等于0 正

追问

原函数是f(x)=（X²+a²）整体比上x 也就是x分之（x²+a²） 不是x² +a²/x

追答

对的啊 就是这么做的 正因为f(x)=（X²+a²）整体比上x ，所以f'(x)=1-a²/x^2
要是f(x)=x² +a²/x的话 则f'(x)=2X-a²/x^2了

Answer 5

你学过导数么？学过的话我可以告诉你解决的方法。

Answer 6

f(x)=x+a²/x，求导得f'(x)=1--a²/x^2在 区间（0，a] 上恒小于零故原题得证

追问

可是你要证明f'(x)=1--a²/x^2在 区间（0，a] 上恒小于零 才行啊

追答

在区间（0,a]上 a²/x²>1 所以f'(x)=1--a²/x^2在 区间（0，a] 上恒小于零