Question

等差数列{a n }中，首项a 1 =1，公差d≠0，前n项和为S n ，已知数列 ， ， ，…， ，…成等比数列，

等差数列{a n }中，首项a 1 =1，公差d≠0，前n项和为S n ，已知数列 ， ， ，…， ，…成等比数列，其中k 1 =1，k 2 =2，k 3 =5．（Ⅰ）求数列{a n }，{k n }的通项公式；（Ⅱ）令b n = ，数列{b n }的前n项和为T n ．若存在一个最小正整数M，使得当n＞M时，S n ＞4T n （n∈N*）恒成立，试求出这个最小正整数M的值．





Answer 1

解：（Ⅰ）由a 2 2 =a 1 a 5 ，得（1+d）2=1（1+4d）， 解得d=2， ∴a n =2n﹣1， ∴ =2k n ﹣1，在等比数列中，公比q= =3， ∴ =3 n﹣1 ，∴2k n ﹣1=3 n﹣1 ，解得k n = ． （Ⅱ）b n = = ，则 + +…+ ， T n = +…+ + ， 两式相减得： T n =1+ +…+ ﹣ =2﹣ ， ∴T n =3﹣ ∵T n+1 ﹣T n = ＞0， ∴T n 单调递增， ∴1≤Tn＜3． 又 在n∈N*时单调递增． 且S 1 =1，4T 1 =4；S 2 =4，4T 2 =8；S 3 =9，4T 3 = ；S 4 =16＞12，4T 4 ＜12；…． n＞3时，S n ＞4T n 恒成立，则所求最小正整数M的值为3．