Question

在三角形ABC中，已知A(-1,0),C(1,0)。若a>b>c,且满足2sinB=sinA+sinC,则顶点B的轨迹方程是什么？

在三角形ABC中，已知A(-1,0),C(1,0)。若a>b>c,且满足2sinB=sinA+sinC,则顶点B的轨迹方程是什么？
答案：x^2/4 +y^2/3=1(x<0)；为什么？这道题怎么做？
我参看了：http://zhidao.baidu.com/question/207280603.html和http://zhidao.baidu.com/question/49887020.html的说法，但看了觉得都是模凌两可的说法，谁能给我个更正确说法？具体过程？

Answer 1

利用正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r代入2sinB=sinA+sinC可得a+c=2b
b是A点到C点的距离可求得是2
所以a+c=4根据椭圆的定义可知所求为椭圆(到两定点的距离为定值),
下面就是确定椭圆方程中的a与b,注意不是上面的a与b(边长)
由上面的a+c=4可知2a=4(a意义不一样,定长的一半),所以a=2 ,a平方=4
c=1(椭圆中的C,即半焦距,由A点到C点的距离上面求得是2可知)
又椭圆中有 a平方=b平方+c平方 的关系
代入以上a与c的值可得b平方=3
所求椭圆方程就是:x平方/4+y平方/3=1
又a>b>c,(从椭圆的几何性质来看,)所以在y轴的左半部分才能保证,所以X小于0(定义域)
不好意思还要去除与y轴的交点(不是三角形了),可用方程求,也可用定义直接看出X不等于-2

追问

“又a>b>c,(从椭圆的几何性质来看,)所以在y轴的左半部分才能保证,所以X小于0(定义域) ”
从椭圆的几何性质来看，我怎么看都觉得无论x取何值都能a>b>c，所以我还是对定义域：X小于0不懂，您能否再详细讲一下？

追答

焦距是2,这是b边的长,左边应是c边,右边应是a边,
椭圆到两焦点的距离和是4,在y轴上的点刚好到两焦点的距离相等(都是2),这时有a=b=c
但若椭圆上的点往左边移动:则a>2,也即a>b,因为a+c=4,所以cb>c
你若还想问为什么a>2,可以从"点的坐标值(x与y)均变小,而右焦点固定,所以它们的距离由距离公式来看会变大"来解释
往右边移动点反之.