Question

已知关于x的一元二次方程x^2+（2m-1）x+m^2=0有2个实数根x1、x2 （1）求实数m的取值范围 （2）若x1^2-x2^2

已知关于x的一元二次方程x^2+（2m-1）x+m^2=0有2个实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围
（2）若X1^2—X2^2=0时，求m的值

Answer 1

(1)根据一元二次方程求根公式，二次式ax^2+bx+c=0有两个实数根当且仅当b^2-4ac>=0,特别地，当b^2-4ac=0时，有两个相等的实数根。
该一元二次方程中，a=1,b=2m-1,c=m^2. 因此b^2-4ac=(2m-1)^2-4m^2=4m^2-4m+4-4m^2=4-4m>=0. 得出m<=1。特别需要说明的是，由于没有说两个实数根是否相等，因此x1=x2也符合题目符合，因此等号也成立。
(2)x1^2-x2^2=0,只有两种可能，x1=x2或者x1=-x2。如果是x1=x2, 则b^2-4ac=0,即4-4m=0,m=1。如果是x1=-x2, x1+x2=0。根据一元二次方程根与系数关系，x1+x2=-b/a=0，得出b=2m-1=0，即m=1/2。
此题考察对求根公式及一元二次方程根与系数关系的掌握，求根公式是必考考点，而熟悉根与系数关系可以使计算得到简化。

Answer 2

(1)
det=（2m-1）^2-4*m^2>=0
-4m+1>=0
m<=0.25
（2）
x1+x2=1-2m
x1*x2=m^2
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=1-4m
x1^2-x2^2=(x1+x2)(x1-x2)=(1-2m)√(1-4m)=0
m=0.5（舍）或m=0.25
所以m=0.25
若m=0，x1=x2=0，也成立

Answer 3

解答如下：
（1）由一元二次方程的根的判别式可知：△≥0时，有两个实数根
即：（2m-1）²-4m²≥0
4m²-4m+1-4m²≥0
所以：m≤1/4
（2）若X1^2—X2^2=0
（x1+x2）（x1-x2）=0
即：x1=x2或者x1=-x2
也就是两个相等或者或为相反数
两根相等时，m=1/4
两根互为相反数时，2m-1=0，m=1/2
此时：方程变为x²=-1/4，方程无解
综上所述：若X1^2—X2^2=0时，m=1/4

Answer 4

(1) (2m-1)²-4m²≥0
-4m+1≥0
m≤0.25
(2) ∵x^2+（2m-1）x+m^2=0有2个实数根x1、x2
所以 x1×x2=m² x1+x2=1-2m
x1²-x2²=（x1-x2）（x1+x2）=0
（x1-x2）²=（x1+x2）²-4x1x2=1-4m
①x1-x2=0
则1-4m=0
m=0.25
②x1+x2=0
则1-2m=0
m=0.5

又∵m≤0.25
∴m=0.25

若m=0，x1=x2=0，也成立

Answer 5

解：（1）b²－4ac＝（2m－1）²－4×1×m²＝－4m＋1≥0
∴m≤1/4
（2）由韦达定理知：
x1＋x2＝1－2m
x1·x2＝m²
又：x1²－x2²＝0
∴ x1＝±x2
① 当x1＝x2时，
x1＝x2＝（1－2m）/2
x1²＝x2²＝m²
[（1－2m）/2]²＝m²
m＝1/4
② 当x1＝－x2时，
x1＋x2＝1－2m＝0
m＝1/2
∵ m≤1/4
∴ m＝1/4