如图,已知PA⊥边长为2的正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点。 (1)证明:平面

如图,已知PA⊥边长为2的正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点。(1)证明:平面DNB⊥平面ABCD;(2)证明:MN⊥CD;(3)若直线PB与平面AB... 如图,已知PA⊥边长为2的正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点。 (1)证明:平面DNB⊥平面ABCD;(2)证明:MN⊥CD;(3)若直线PB与平面ABCD所成的角为45°,求证:MN⊥平面PCD。 展开
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双觅芬3487
2014-12-16 · TA获得超过222个赞
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解:(1)如图,连接AC交BD于O,连接NO,
∵N,O分别为PC,AC的中点,
∴NO∥PA
∵PA⊥平面ABCD,
∴NO⊥平面ABCD,又NO 平面DNB,
∴平面DNB⊥平面ABCD。
(2)如图,连接MO,由(1)知NO⊥平面ABCD
∴NO⊥AB,
又易证MO⊥AB,NO∩MO=O,
∴AB⊥平面OMN
∴MN⊥AB,而CD∥AB
∴MN⊥CD。

(3)∵直线P与平面ABCD所成的角为45°,且PA⊥平面ABCD
∴∠PBA= 45°,△PAB为等腰直角三角形,
∴PA=AB=AD=2
连接PM,CM,易证△PAM≌△CBM,得PM=CM,
∵N为PC中点,
∴MN⊥PC
又MN⊥CD,PC∩CD=C
∴MN⊥平面PCD。

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