Question

已知x，y，z属于（0，正无穷），x+y +z=3，（1）求1/x+1/y+1/z的最小值（2）

明3小于等于x^2+y^2+z^2小于9

Answer 1

1)
1/x+1/y+1/z
＝1²/x+1²/y+1²/z²
≥(1+1+1)²/(x+y+z)
＝3²/3
＝3,
故所求最小值为：3.
(2)x^2+y^2+z^2
≥(x+y+z)^2/(1+1+1)
＝3；
9-(x^2+y^2+z^2)
＝(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)
＝2(xy+yz+zx)
>0,
∴x^2+y^2+z^2小于9

Answer 2

(1)
1/x+1/y+1/z
＝1²/x+1²/y+1²/z²
≥(1+1+1)²/(x+y+z)
＝3²/3
＝3,
故所求最小值为：3.
(2)
x²+y²+z²
＝x²/1+y²/1+z²/1
≥(x+y+z)²/(1+1+1)
＝3²/3
＝3,
左边得证.
又,x、y、z∈R+,即xy+yz+zx>0.
∴x²+y²+z²-9
＝x²+y²+z²-(x+y+z)²
＝-2(xy+yz+zx)