Question

证明：x^2+y^2-8z=6没有整数解。

Answer 1

证明：假设存在整数解，即存在正数a,b,c满足方程x^2+y^2-8z=6.
则：a^2+b^2=8c+6
=2(4c+3).
于是，a^2,b^2奇偶性相同。则: a,b奇偶性相同。
（1）a,b都是偶数，于是存在整数，m,n使得：a=2m, b=2n.
则：a^2+b^2=4m^2+4n^2
=2(4c+3).
则：2(m^2+n^2)=4c+3, 即：一个奇数等于另一个偶数，矛盾；
（2）a,b都是奇数，于是存在整数，m,n使得：a=2m-1,b=2n-1.
则：a^2+b^2=4m^2-4m+1+4n^2-4n+1
=4[m(m-1)+n(n-1)]+2
=8c+6
则：m(m-1)+n(n-1)=2c+1.
由m,m-1使相邻整数，n,n-1是相邻整数，则：m,m-1必有一个是偶数，n,n-1必有一个是偶数。于是：m(m-1)+n(n-1)是偶数，而2c+1是奇数，此等式不成立，矛盾。
综上：假设不真，方程x^2+y^2-8z=6没有整数解。

Answer 2

x^2 + y^2 = 6 + 8z = 2(3 + 4 z)
假设存在整数解, 等式右端为偶数, 所以 x^2+y^2为偶数, x,y 均为偶数, x=2m, y=2n
那么x^2+y^2= 4(m^2+n^2) = 2 (3+4z)
3+4z = 2(m^2+n^2)
左边奇数右边偶数矛盾