Question

已知直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,l3(a+2b)x+(a+b)y-2a-3b=0

（1）求证：不论a，b取何值，l3过定点；
（2）若直线l1//l2，且坐标原点到l1，l2的距离相等，求实数a，b的值；
（3）若直线l1⊥l2，记直线l3过定点A，l1，l2分别于y轴交于点B、C，求当△ABC面积最小时实数a，b的值

Answer 1

1、(a+2b)x+(a+b)y-2a-3b=0
ax+2by+ay+by-2a-3b=0
a(x+y-2)+b(2x+y-3)=0
解方程组：x+y-2=0;2x+y-3=0得：x=1;y=1
即直线(a+2b)x+(a+b)y-2a-3b=0不管a、b取何值，恒过点(1,1)
2、ax-by+4=0：y=(a/b)x+4/b
(a-1)x+y+b=0 ;y=-(a-1)-b
两条直线垂直，则有：-(a/b)*(a-1)=-1,即：a(a-1)=b
原点到直线的距离公式：L=│C│ / √（A²+B²）得到原点到两直线的距离为：
4/√(a²+b²）=b/√(a-1)²+1，解得a=2,b=2
原直线1为：x-y+2=0
原直线2为：x+y+2=0
3、直线1和2分别交Y轴B点（0，4/b）和C点（0，-b），过直线3的定点A为（1，1），A、B、C三点组成的三角形面积为s=(│4/b│+│-b│)*1/2
s=（4/b+b）/2,当b=2时，S最小，时此a=2
即a=2时，三角形面积最小。