Question

已知数列｛an｝的前n项和Sn＝n的平方＋n，数列｛bn｝满足bn＋小1＝2bn-1且b小1＝5，

已知数列｛an｝的前n项和Sn＝n的平方＋n，数列｛bn｝满足bn＋小1＝2bn-1且b小1＝5，（1）求｛an｝，｛bn｝的通项公式，（2）设Cn＝1/an·㏒小2（bn-1）数列｛Cn｝的前n项和为Tn，求证：Tn＜1/2

Answer 1

(1)
解：
n=1时，a1=S1=1²+1=2
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=n²+n-[(n-1)²+(n-1)]=2n
n=1时，a1=2·1=2，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=2n
b(n+1)=2bn -1
b(n+1)-1=2bn-2=2(bn-1)
[b(n+1)-1]/(bn-1)=2，为定值
b1-1=5-1=4，数列{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列
bn-1=4·2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁺¹
bn=2ⁿ⁺¹+1
n=1时，b1=2²+1=5，同样满足表达式
数列{bn}的通项公式为bn=2ⁿ⁺¹+1
(2)
证：
cn=1/[an·log2(bn-1)]=1/[2nlog2(2ⁿ⁺¹)]=1/[2n(n+1)]=½[1/n -1/(n+1)]
Tn=c1+c2+...+cn
=½[1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)]
=½[1- 1/(n+1)]
=½ -1/(2n+2)
1/(2n+2)>0，½- 1/(2n+2)<½
Tn<½，不等式成立。

追问

第一问bn那里的是什么？

追答

你是用手机看的吧，可能看到的是乱码。在电脑上看就显示正常了。

截个图给你吧。

追问

log2（2n+1）这里怎么算

追答

这是对数最基础的知识，基础到无法更基础的知识。
log2(2ⁿ⁺¹)=(n+1)log2(2)=(n+1)·1=n+1
都已经学到数列了，对数应该早就学过了吧。