Question

设f(x)在[a,b]上连续,且恒为正,证明:对于任意x1,x2属于(a,b)(x1＜x2)必存在一点ξ属于[x1,x2]

使得f(ξ)=根号下f(x1)f(x2)

Answer 1

原命题等价于存在ξ∈[x1,x2],使得g(ξ)=f²(ξ)-f(x1)(x2)=0
证明：
记g(x)=f²(x)-f(x1)(x2),由初等函数性质知g(x)在[a,b]上连续.
若f(x1)=f(x2),显然存在ξ∈[x1,x2],使得g(ξ)=f²(ξ)-f(x1)(x2)=0,此时可取ξ=x1,或ξ=x2.
若f(x1)>f(x2)>0,则g(x1)=f²(x1)-f(x1)(x2)>0,g(x2)=f²(x2)-f(x1)(x2)<0,由连续函数介值定理知
必存在ξ∈(x1,x2),使得g(ξ)=f²(ξ)-f(x1)(x2)=0
同理若f(x2)>f(x1)>0,则g(x1)=f²(x1)-f(x1)(x2)<0,g(x2)=f²(x2)-f(x1)(x2)>0,同样由连续函数介值定理知必存在ξ∈(x1,x2),使得g(ξ)=f²(ξ)-f(x1)(x2)=0
综上,对于任意x1,x2∈(a,b),(x1＜x2)必存在一点ξ∈[x1,x2]使得g(ξ)=f²(ξ)-f(x1)(x2)=0
即f(ξ)=√[f(x1)f(x2)],命题得证.