Question

高数题：1 设f(x)在[a,b]内连续 x1,x2属于(a,b),x1<x2,若μ1,μ2属于R+ 证明在[x1,x2]内至少存在一点ζ，

使μ1f(x1)+μ2f(x2)=(μ1+μ2)f(ζ) (介值定理)
2 lim（x趋于无穷大）[cos√(x^4+x)-cos√(x^4-x)] (余弦和差化积公式)

Answer 1

1 (μ1f(x1)+μ2f(x2))/(μ1+μ2)在f(x1)和f(x2)之间，由介值性定理，在[x1,x2]内至少存在一点ζ，使
（μ1f(x1)+μ2f(x2)）/(μ1+μ2)=f(ζ)
2.用和差化积公式：
cos√(x^4+x)-cos√(x^4-x)
=-2sin[(√(x^4+x)+√(x^4-x))/2]·sin[(√(x^4+x)-√(x^4-x))/2]
=-2sin[(√(x^4+x)+√(x^4-x))/2]·sin(2x/[2(√(x^4+x)+√(x^4-x))]
当x趋于无穷时，sin[(√(x^4+x)+√(x^4-x))/2]为有界量，
·sin(2x/[2(√(x^4+x)+√(x^4-x))]趋于0，
故所求极限为0.

追问

第一题里我就是不知道怎么证(μ1f(x1)+μ2f(x2))/(μ1+μ2)在f(x1)和f(x2)之间啊 = = 还是这个不用证？

追答

这类似于等比分点公式。

不妨设f(x1)<f(x2), f(x1)<(μ1f(x1)+μ2f(x2))/(μ1+μ2)<f(x2）

这就是要说明(μ1f(x1)+μ2f(x2))/(μ1+μ2)在f(x1)和f(x2)之间

Answer 2